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■三角形を解くとは ○三角形には3つの角と3つの辺があります.これらの内の幾つかの要素が与えられたとき,残りの要素を求めることを「三角形を解く」といいます.
相似図形の性質を考えると分かるように,三角形が決まるためには(=三角形が解けるためには)少なくとも1つの辺の長さが与えられて(分かって)いなければなりません.3つの角だけが与えられた場合には,大きさの異なる相似な三角形がいくらでも描けて,三角形の辺の長さが決まりません.
○「三角形を解く」という問題は辺の長さが何個分かっているかで分類すると,きれいに分けられます. [1]辺の長さが1つ分かっている問題
(1.1)
[2]辺の長さが2つ分かっている問題[1辺とその両端の2角](2角きょう辺ともいう) →残りの2辺と1角を求める …≪1通りだけ決まる≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
(1.2)
![]() A=180°−(B+C) [1辺とその両端ではない2つの角] →残りの2辺と1角を求める …三角形の決定条件には当てはまらないが,2角が分かると残りの1角はただで求まるから,2辺とその間の角も分かることになり≪1通りだけ決まる≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
![]() B=180°−(A+C)
(2.1) [2辺とその間の角](2辺きょう角ともいう) →残りの1辺と2角を求める …≪1通りだけ決まる≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
![]() c2=a2+b2−2ab cos C (以後は正弦定理でも余弦定理でも解ける) (余弦定理なら角度は1つに定まる) →右上に続く
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(2.2) [2辺とその間にない角] →残りの1辺と2角を求める …≪答が2通り出る場合がある≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
[3]辺の長さが3つ分かっている問題
![]() (これを満たす角0°<B<180°の値は通常2つあるが,A+B≧180°となる組は三角形にならない.そこで,2つ求まったBのうち片方がA+B≧180°となる場合は解が1つになり,2つ求まったBのどちらもA+B<180°となる場合は解が2つになる) C=180°−(A+B) c2=a2+b2−2ab cos C ※次のように余弦定理から2次方程式を作って解いても,上記と同じ結果が得られる. a2=b2+c2−2bc cos A → c (これを満たすcの値は通常2つあるが,c<0となる組は三角形にならない.そこで,c<0となる解が含まれていれば三角形は1つになり,cの解が2つとも正なら三角形は2つになる)
(3.1)
[3辺] →残りの3つの角を求める …≪1通りだけ決まる≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
![]()
※少なくとも1つの辺を含む3つの要素が与えられると三角形は解けますので,問題の形としては上に述べたものだけになります.(さらに,内接円の半径や外接円の半径を求めさせる問題はあり得ます)
なかには A=30°, B=45°, a=5, c=7…(*) のように4つ以上の要素が与えられている問題もありますが,4個目の要素は書いてなくても解けます.(*)の問題のように4個目の要素をいい加減に書いた場合には,他の3つの要素から決まる値と矛盾してしまい,そのような三角形は描けず,問題が解けないことがあります. |
≪自由研究≫ …あなたの解きたい問題を書いてください. 解答は小数表示になります.(四捨五入の都合で,合計が180°ちょうどにならないことがあります) ※必ず「半角数字」(1バイト文字)で書き込んでください.
例えばb, C, Aが分かっている問題を解くには,次の結果でラベルを入れ替えてa, B, Cの問題として解いてください.
[1](1.1)[1辺とその両端の2角が分かる場合] |
[2](2.2)[2辺とその間にない角が分かる場合] |
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