高校数学・正弦定理と余弦定理

三角形を解く

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題）　• 分数型の方程式　• 余弦定理　• 三辺から角を求める問題　• 余弦定理を２次方程式として解く　• 三角形を解く　　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角　• 三角形の形状問題　• 三角形の証明問題　• ヘロンの公式　• 内接円の半径　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，三角形を解くのマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■三角形を解くとは
○三角形には３つの角と３つの辺があります．これらの内の幾つかの要素が与えられたとき，残りの要素を求めることを「三角形を解く」といいます．

相似図形の性質を考えると分かるように，三角形が決まるためには（=三角形が解けるためには）少なくとも１つの辺の長さが与えられて（分かって）いなければなりません．３つの角だけが与えられた場合には，大きさの異なる相似な三角形がいくらでも描けて，三角形の辺の長さが決まりません．

○「三角形を解く」という問題は辺の長さが何個分かっているかで分類すると，きれいに分けられます．
[1]辺の長さが１つ分かっている問題

(1.1)
［１辺とその両端の２角］（２角きょう辺ともいう）
→残りの２辺と１角を求める
…≪１通りだけ決まる≫

【例】 …青文字：既知，赤文字：未知とする

a	b	c
A	B	C

A=180°−(B+C)
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ →b= $\frac{a\sin B}{\sin A}$
$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ →c= $\frac{a\sin C}{\sin A}$

(1.2)
［１辺とその両端ではない２つの角］
→残りの２辺と１角を求める
…三角形の決定条件には当てはまらないが，２角が分かると残りの１角はただで求まるから，２辺とその間の角も分かることになり≪１通りだけ決まる≫

【例】 …青文字：既知，赤文字：未知とする

a	b	c
A	B	C

B=180°−(A+C)
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ →b= $\frac{a\sin B}{\sin A}$
$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ →c= $\frac{a\sin C}{\sin A}$

[2]辺の長さが２つ分かっている問題

(2.1)
［２辺とその間の角］（２辺きょう角ともいう）
→残りの１辺と２角を求める
…≪１通りだけ決まる≫

【例】 …青文字：既知，赤文字：未知とする

a	b	c
A	B	C

c2=a2+b2−2ab cos C
（以後は正弦定理でも余弦定理でも解ける）
（余弦定理なら角度は１つに定まる）
$\cos A=\frac{b^2 + c^2-a^2}{2bc}$ →A
$\cos B=\frac{a^2 + c^2-b^2}{2ac}$ →B

→右上に続く

(2.2)
［２辺とその間にない角］
→残りの１辺と２角を求める
…≪答が２通り出る場合がある≫

【例】 …青文字：既知，赤文字：未知とする

a	b	c
A	B	C

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ →sin B= $\frac{b\sin A}{a}$
（これを満たす角0°<B<180°の値は通常２つあるが，A+B≧180°となる組は三角形にならない．そこで，２つ求まったBのうち片方がA+B≧180°となる場合は解が１つになり，２つ求まったBのどちらもA+B<180°となる場合は解が２つになる）
C=180°−(A+B)
c2=a2+b2−2ab cos C

※次のように余弦定理から２次方程式を作って解いても，上記と同じ結果が得られる．
a2=b2+c2−2bc cos A → c
（これを満たすcの値は通常２つあるが，c<0となる組は三角形にならない．そこで，c<0となる解が含まれていれば三角形は１つになり，cの解が２つとも正なら三角形は２つになる）
$\cos B=\frac{b^2 + c^2-b^2}{2ac}$ →B
$\cos C=\frac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$ →C

[3]辺の長さが３つ分かっている問題

(3.1)
［３辺］
→残りの３つの角を求める
…≪１通りだけ決まる≫

【例】 …青文字：既知，赤文字：未知とする

a	b	c
A	B	C

$\cos A=\frac{b^2 + c^2-a^2}{2bc}$ →A
$\cos B=\frac{b^2 + c^2-b^2}{2ac}$ →B
$\cos C=\frac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$ →C

※少なくとも１つの辺を含む３つの要素が与えられると三角形は解けますので，問題の形としては上に述べたものだけになります．（さらに，内接円の半径や外接円の半径を求めさせる問題はあり得ます）
なかには
A=30°, B=45°, a=5, c=7…(*)
のように４つ以上の要素が与えられている問題もありますが，４個目の要素は書いてなくても解けます．(*)の問題のように４個目の要素をいい加減に書いた場合には，他の３つの要素から決まる値と矛盾してしまい，そのような三角形は描けず，問題が解けないことがあります．

≪自由研究≫ …あなたの解きたい問題を書いてください．
解答は小数表示になります．（四捨五入の都合で，合計が180°ちょうどにならないことがあります）
※必ず「半角数字」（1バイト文字）で書き込んでください．

例えばb, C, Aが分かっている問題を解くには，次の結果でラベルを入れ替えてa, B, Cの問題として解いてください．

[1](1.1)［１辺とその両端の２角が分かる場合］

[1](1.2)［１辺とその両端ではない２つの角が分かる場合］

[2](2.1)［２辺とその間の角が分かる場合］

[2](2.2)［２辺とその間にない角が分かる場合］

[3](3.1)［３辺が分かる場合］

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