三角形の形状・証明問題
【単元の目次】
《数学Ⅰ・A》
数と式  • 根号計算  • 場合の数.順列.組合せ  • 確率  • 2次関数 • 2次不等式  • 集合・命題・条件・証明  • 正弦定理,余弦定理
♪♥ この教材は,高校数学の基本問題のうち,三角形の形状問題のマイナーチェンジありのカバー版です.
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== 三角形の形状・証明問題 ==
《解説》
 三角形の形状問題(正三角形,二等辺三角形,直角三角形など三角形の種類を言い当てる問題)や証明問題においては,正弦定理や余弦定理を変形して,角度に関する式を辺に関する式に直してから考えるのが原則です.
<原則>・・・角を辺に直す


tan Aは上記2つを用いてとします.
 B, Cについても同様です.
 角度の関係式を辺の関係式に直すのは,一般に角度の関係式が変形しにくく,見通しを立てにくいからです

 sin(A+B)sin A·cos B−sin B·cos Aは変形しにくいが
(a+b)2=a2+2ab+b2においては,文字式の通常の展開公式が使えます.
【例】
 次の等式が成り立つとき,この△ABCはどんな形の三角形か.
 a sin A=b sin B+c sin C
(答案)
などを代入すると

これより,a2=b2+c2
ゆえに,∠A=90゜の直角三角形・・・(答)
• 最後の詰めは,どうするのか
辺だけの関係式から,三角形の形状を言い当てるには,次のような性質を用います.
≪例1≫ a=b → ∠A=∠Bの二等辺三角形
b=c, c=aについても同様)
≪例2≫ a=b=c → 正三角形
• 辺についての関係式から「直角」など角度についての関係を引き出すには,「ピタゴラスの定理の逆」を前もって覚えておかなければできません.
≪例3≫ a2=b2+c2 → ∠A=90゜の直角三角形
b=c, c=aについても同様)
≪例4≫ a2=b2+c2かつb=c
→ ∠A=90゜の直角二等辺三角形
答案としては,単に「二等辺三角形」とするのではなく
∠A=∠Bの二等辺三角形
単に「直角三角形」とするのではなく
∠A=90゜の直角三角形
と書くことが要求されます. 
《問題》
次の等式が成り立つとき,この△ABCはどんな形の三角形か
 下の選択肢の中から,正しいものを1つ選んでクリックしてください.(選択肢を選べば,採点結果と解説が出ます.見ているだけでは,解説は出ません)
(1)
sin2A=sin2B+sin2C
a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形
∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形
∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形
上記のいずれでもない
(2)
c=2a cos B
a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形
∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形
∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形
上記のいずれでもない
(3)
a sin A=(b+c)(sin Bsin C)
a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形
∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形
∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形
上記のいずれでもない
(4)
sin A cos B=sin B cos A
a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形
∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形
∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形
上記のいずれでもない
(5)
2cos B sin C=sin A
a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形
∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形
∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形
上記のいずれでもない
《解説》
• 変形していくと,3次式,4次式,・・・となることがあります.このような場合は,因数分解によって判断します.
【例】
変形した結果が,(a2−b2)(a2+b2−c2)=0となった場合
  a2−b2=0の部分から「a=bの二等辺三角形」
  a2+b2−c2=0の部分から「∠C=90゜の直角三角形」
と言えるから
  「a=bの二等辺三角形」または「∠C=90゜の直角三角形」と答えることができます.
• のような式から「角を辺に直す」ための変形を直接行うと

のように,式が複雑になり過ぎます.このような場合は

とすることができます.
(6)
sin A cos A+sin B cos B=sin C cos C
a=bの二等辺三角形または∠C=90゜の直角三角形 a=bの二等辺三角形または∠C=120゜の鈍角三角形
b=cの二等辺三角形または∠A=90゜の直角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=120゜の鈍角三角形
c=aの二等辺三角形または∠B=90゜の直角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=120゜の鈍角三角形
∠A=90゜または∠B=90゜の直角三角形 ∠B=90゜または∠C=90゜の直角三角形
∠C=90゜または∠A=90゜の直角三角形 上記のいずれでもない
(7)
a=bの二等辺三角形または∠C=90゜の直角三角形 a=bの二等辺三角形または∠C=120゜の鈍角三角形
b=cの二等辺三角形または∠A=90゜の直角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=120゜の鈍角三角形
c=aの二等辺三角形または∠B=90゜の直角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=120゜の鈍角三角形
∠A=90゜または∠B=90゜の直角三角形 ∠B=90゜または∠C=90゜の直角三角形
∠C=90゜または∠A=90゜の直角三角形 上記のいずれでもない
(8)
a=bの二等辺三角形または∠C=90゜の直角三角形 a=bの二等辺三角形または∠C=120゜の鈍角三角形
b=cの二等辺三角形または∠A=90゜の直角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=120゜の鈍角三角形
c=aの二等辺三角形または∠B=90゜の直角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=120゜の鈍角三角形
∠A=90゜または∠B=90゜の直角三角形 ∠B=90゜または∠C=90゜の直角三角形
∠C=90゜または∠A=90゜の直角三角形 上記のいずれでもない

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