高校数学・正弦定理と余弦定理

【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題） 　• 分数型の方程式 　• 余弦定理 　• 三辺から角を求める問題 　• 余弦定理を２次方程式として解く 　• 三角形を解く 　 　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角 　• 三角形の形状問題 　• 三角形の証明問題 　• ヘロンの公式 　• 内接円の半径 　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題） ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，三角形の形状問題のマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 三角形の形状・証明問題 == 《解説》 　三角形の形状問題（正三角形，二等辺三角形，直角三角形など三角形の種類を言い当てる問題）や証明問題においては，正弦定理や余弦定理を変形して，角度に関する式を辺に関する式に直してから考えるのが原則です． ＜原則＞・・・角を辺に直す • • • tan Aは上記２つを用いてとします． 　B, Cについても同様です．

角度の関係式を辺の関係式に直すのは，一般に角度の関係式が変形しにくく，見通しを立てにくいからです 例 　sin(A+B)やsin A·cos B−sin B·cos Aは変形しにくいが (a+b)2=a2+2ab+b2においては，文字式の通常の展開公式が使えます． 【例】 　次の等式が成り立つとき，この△ABCはどんな形の三角形か． 　a sin A=b sin B+c sin C (答案) などを代入すると これより，a2=b2+c2 ゆえに，∠A=90゜の直角三角形･･･(答)

• 最後の詰めは，どうするのか 辺だけの関係式から，三角形の形状を言い当てるには，次のような性質を用います． ≪例1≫　a=b　→　∠A=∠Bの二等辺三角形 （b=c, c=aについても同様） ≪例2≫　a=b=c　→　正三角形

• 辺についての関係式から「直角」など角度についての関係を引き出すには，「ピタゴラスの定理の逆」を前もって覚えておかなければできません． ≪例3≫ a2=b2+c2　→　∠A=90゜の直角三角形 （ b=c, c=aについても同様） ≪例4≫　a2=b2+c2かつb=c →　∠A=90゜の直角二等辺三角形 答案としては，単に「二等辺三角形」とするのではなく 「∠A=∠Bの二等辺三角形」 単に「直角三角形」とするのではなく 「∠A=90゜の直角三角形」 と書くことが要求されます．

《問題》 次の等式が成り立つとき，この△ABCはどんな形の三角形か 　下の選択肢の中から，正しいものを1つ選んでクリックしてください．（選択肢を選べば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは，解説は出ません） (1) sin2A=sin2B+sin2C a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形 ∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形 ∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形 上記のいずれでもない 解説を読む などを代入すると となり，分母を払うと a2=b2+c2となります． したがって，∠A=90゜の直角三角形･･･（答） →解説を隠す←

(2) c=2a cos B a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形 ∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形 ∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形 上記のいずれでもない 解説を読む を代入すると となり，分母を払うと c2=c2+a2−b2 a2=b2 (a,b>0)となります． したがって，a=bの二等辺三角形･･･（答） →解説を隠す←

(3) a sin A=(b+c)(sin B−sin C) a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形 ∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形 ∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形 上記のいずれでもない 解説を読む などを代入すると となり，分母を払うと a2=b2−c2 c2を移項すると a2+c2=b2 したがって，∠B=90゜の直角三角形･･･（答） →解説を隠す←

(4) sin A cos B=sin B cos A a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形 ∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形 ∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形 上記のいずれでもない 解説を読む などを代入すると となり，分母を払うと c2+a2−b2=b2+c2−a2 a2=b2 (a,b>0) したがって，a=bの二等辺三角形･･･（答） →解説を隠す←

(5) 2cos B sin C=sin A a=bの二等辺三角形 b=cの二等辺三角形 c=aの二等辺三角形 正三角形 ∠A=90゜の直角三角形 ∠B=90゜の直角三角形 ∠C=90゜の直角三角形 ∠A=90゜の直角二等辺三角形 ∠B=90゜の直角二等辺三角形 ∠C=90゜の直角二等辺三角形 上記のいずれでもない 解説を読む を代入すると となり，分母を払うと c2+a2−b2=a2 b2=c2 (b,c>0) したがって，b=cの二等辺三角形･･･（答） →解説を隠す←

《解説》 • 変形していくと，3次式，4次式，･･･となることがあります．このような場合は，因数分解によって判断します． 【例】 変形した結果が，(a2−b2)(a2+b2−c2)=0となった場合 　　a2−b2=0の部分から「a=bの二等辺三角形」 　　a2+b2−c2=0の部分から「∠C=90゜の直角三角形」 と言えるから 　　「a=bの二等辺三角形」または「∠C=90゜の直角三角形」と答えることができます． •　のような式から「角を辺に直す」ための変形を直接行うと のように，式が複雑になり過ぎます．このような場合は とすることができます．

(6) sin A cos A+sin B cos B=sin C cos C a=bの二等辺三角形または∠C=90゜の直角三角形 a=bの二等辺三角形または∠C=120゜の鈍角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=90゜の直角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=120゜の鈍角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=90゜の直角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=120゜の鈍角三角形 ∠A=90゜または∠B=90゜の直角三角形 ∠B=90゜または∠C=90゜の直角三角形 ∠C=90゜または∠A=90゜の直角三角形 上記のいずれでもない 解説を読む などを代入すると 分母を払って整理すると したがって，b2=a2+c2またはa2=b2+c2 ∠A=90゜または∠B=90゜の直角三角形 ･･･（答） →解説を隠す←

(7) a=bの二等辺三角形または∠C=90゜の直角三角形 a=bの二等辺三角形または∠C=120゜の鈍角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=90゜の直角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=120゜の鈍角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=90゜の直角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=120゜の鈍角三角形 ∠A=90゜または∠B=90゜の直角三角形 ∠B=90゜または∠C=90゜の直角三角形 ∠C=90゜または∠A=90゜の直角三角形 上記のいずれでもない 解説を読む などを代入すると ここでなどを代入して簡単にする ゆえに または ここで，はを表す すなわち，を表す 結局,の二等辺三角形またはの(鈍角)三角形 →解説を隠す←

(8) a=bの二等辺三角形または∠C=90゜の直角三角形 a=bの二等辺三角形または∠C=120゜の鈍角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=90゜の直角三角形 b=cの二等辺三角形または∠A=120゜の鈍角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=90゜の直角三角形 c=aの二等辺三角形または∠B=120゜の鈍角三角形 ∠A=90゜または∠B=90゜の直角三角形 ∠B=90゜または∠C=90゜の直角三角形 ∠C=90゜または∠A=90゜の直角三角形 上記のいずれでもない 解説を読む などを代入すると 分母を払って整理する b2(c2+a2−b2)=a2(b2+c2−a2) b2c2+b2a2−b4=a2b2+a2c2−a4 b2c2−b4=a2c2−a4 a4−b4−c2(a2−b2)=0 (a2−b2)(a2+b2)−c2(a2−b2)=0 (a2−b2)(a2+b2−c2)=0 したがって a=bの二等辺三角形または∠C=90゜の直角三角形･･･（答） →解説を隠す←