高校数学・正弦定理と余弦定理

三角形の証明問題

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題）　• 分数型の方程式　• 余弦定理　• 三辺から角を求める問題　• 余弦定理を２次方程式として解く　• 三角形を解く　　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角　• 三角形の形状問題　• 三角形の証明問題　• ヘロンの公式　• 内接円の半径　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，三角形の証明問題のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 正弦定理・余弦定理の応用…三角形の証明問題 ==
《解説》
■　正弦定理・余弦定理の応用として，辺と角度を含む式を証明する問題があります．次の例のように，「△ABCについて，･･･が成立することを証明しなさい」という形で指示されているときには，特定の形の三角形△ABCではなく，「すべての」△ABCについて成立することを示なければなりません．

【例題】
△ABCについて，a=b cos C+c cos Bが成立することを証明しなさい．

(答案)･･･教科書などで証明済みの「正弦定理」や「余弦定理」を用いて，左辺と右辺が等しいことを示せばよい．
（右辺）＝ $b\times\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}+ c\times\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}$
$=\frac{a^2+ b^2-c^2+ c^2+ a^2-b^2}{2a}$
$=\frac{2a^2}{2a}=a$ ＝（左辺）

■証明終■

＜原則＞・・・角を辺に直す
• $\sin A=\frac{a}{2R}$
• $\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}$
• tan Aは上記２つを用いて $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$ とします．
　B, Cについても同様です．

• 左の例題の結果は，第１余弦定理と呼ばれ，次の形の左辺が登場したとき，これを右辺に書き換えると短縮答案が書けることがあります．（裏技的に使える）
$a-b\cos C=c\cos B$
$b-c\cos A=a\cos C$
$c-a\cos B=b\cos A$

　Web教材の中で，「証明の途中経過を採点するのは難しい」ので，以下においては，問題の形を変えて，等しい式を選択する問題とします．必要があれば元の証明問題は容易に復元できるはずです

《問題》
　△ABCにおいて，次の式に等しいものを右の欄から選んでください．

　右の選択肢の中から，正しいものを1つ選んでクリックしてください．（選択肢を選べば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは，解説は出ません）

(1)
$a(\sin B+ \sin C)$

解説を読む

（左辺）＝ $a\big(\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\big)=\frac{a(b+ c)}{2R}$
（右辺）として $(b+ c)\sin A$ を選んだ場合

（右辺）＝ $(b+ c)\times\frac{a}{2R}=\frac{a(b+ c)}{2R}$
となって，両辺が等しくなる．
したがって， $(b+ c)\sin A$ ･･･（答） →解説を隠す←

　♪♥「左辺を変形して行けば自然に右辺になる」ものばかりではないので，意外に手間取るかもしれない．∳♣
　♫♦∀　一手先を予想して，右辺の中で怪しいものを試してみるなど，『やってみなければ分からない』とも言えそう･･･♬∅♠

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

(2)
$c(\sin^2 A+ \sin^2 B)$

解説を読む

（左辺）＝ $c\{\big(\frac{a}{2R}\big)^2+ \big(\frac{b}{2R}\big)^2\}=\frac{c(a^2+ b^2)}{4R^2}$
（右辺）として $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$ を選んだ場合

（右辺）＝ $\frac{c}{2R}\{a\times\frac{a}{2R}+ b\times\frac{b}{2R}\}=\frac{c(a^2+ b^2)}{4R^2}$
となって，両辺が等しくなる．
したがって， $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$ ･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

(3)
$(b-c)\sin A+ (c-a)\sin B + (a-b)\sin C$

解説を読む

（左辺）＝ $(b-c)\frac{a}{2R}+ (c-a)\frac{b}{2R} + (a-b)\frac{c}{2R}$
$=\frac{ab-ca+ bc-ab+ ca-bc}{2R}=0$
となって，両辺が等しくなる．
したがって，0･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

(4)
$a(\cos B-\cos C)$

解説を読む

（左辺）＝ $a\big(\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}-\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}\big)$
$=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2c}-\frac{a^2+ b^2-c^2}{2b}$
$=\frac{b(c^2+ a^2-b^2)-c(a^2+ b^2-c^2)}{2bc}$
［分子］＝bc2+a2b−b3−a2c−b2c+c3
=(b−c)a2−b(b2−c2)−c(b2−c2)
=(b−c)a2−b(b−c)(b+c)−c(b−c)(b+c)
=(b−c){a2−b(b+c)−c(b+c)}
=(b−c){a2−(b+c)2}
=(b−c)(a+b+c)(a−b−c)

（左辺）＝ $\frac{(b-c)(a+ b+ c)(a-b-c)}{2bc}$

（右辺）＝ $(c-b)(1+\cos A)$ $=(c-b)(1+\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc})$
$=(c-b)\times\frac{2bc+ b^2+ c^2-a^2}{2bc}$ $=(c-b)\times\frac{(b+ c)^2-a^2}{2bc}$
$=\frac{(c-b)(b+ c+ a)(b+ c-a)}{2bc}$
となって，両辺が等しくなる．
したがって， $(c-b)(1+\cos A)$ ･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

（別解）第1余弦定理を用いると，次の答案が書ける

【第１余弦定理】
• c=a cos B+b cos A
• b=a cos C+c cos A

（左辺）=(c−b cos A)−(b−c cos A)
=(c−b)+cos A(c−b)
=(c−b)(1+cos A)
したがって，(c−b)(1+cos A)･･･（答） →解説を隠す←

(5)
$\frac{c\cos B}{b}-\frac{c\cos A}{a}$

解説を読む

（左辺）＝ $\frac{\sout{\Large{c}}}{b}\times\frac{c^2+ a^2-b^2}{2\sout{\Large{c}}a}-\frac{\sout{\Large{c}}}{a}\times\frac{b^2+ c^2-a^2}{2b\sout{\Large{c}}}$
$=\frac{1}{2ab}(\cancel{c^2}+ a^2-b^2-b^\2-\cancel{c^2}+ a^2)$
$=\frac{1}{2ab}\{2(a^2-b^2)\}=\frac{a^2-b^2}{ab}$
（右辺）として， $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ を選んだ場合，
（左辺）＝ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^2-b^2}{ab}$
となって，両辺が等しくなる．
したがって， $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

（別解）第1余弦定理を用いると，次の答案が書ける

【第１余弦定理】
• a=b cos C+c cos B
• b=a cos C+c cos A

（左辺） $=\frac{a-b\cos C}{b}-\frac{b-a\cos C}{a}$
$=\frac{a}{b}-\cos C-\frac{b}{a}+\cos C=\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$
したがって， $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ ･･･（答） →解説を隠す←

(6)
$a(b\cos C-c\cos B)$

解説を読む

（左辺）＝ $a(b\cos C-c\cos B)$
$=\cancel{ab}\times\frac{a^2+ b^2-c^2}{2\cancel{ab}}-\cancel{ac}\times\frac{c^2+ a^2-b^2}{2\cancel{ac}}$
$=\frac{1}{2}(c^2+ a^2-b^2-c^2-a^2+ b^2)$
$=b^2-c^2$
したがって， $b^2-c^2$ ･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

(7)
$a^2+ b^2+ c^2$

解説を読む

$a^2+ b^2+ c^2=x$ とおく
余弦定理により
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$
$b^2=c^2+ a^2-2ca\cos B$
$c^2=a^2+ b^2-2ab\cos C$
が成り立つ．これらを左辺に代入すると
（左辺）＝ $x=b^2+ c^2-2bc\cos A$
$+ c^2+ a^2-2ca\cos B$
$+ a^2+ b^2-2ab\cos C$
$=2x-2bc\cos A-2ca\cos B-2ab\cos C$
$x=2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$
したがって， $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$ ･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

(8)
$a\cos A\sin C$

解説を読む

（左辺）＝ $a\times\frac{b^2+ c^2-a^2}{2b\cancel{c}}\times\frac{\cancel{c}}{2R}=\frac{a(b^2+ c^2-a^2)}{4bR}$
（右辺）として， $(b-a\cos C)\sin A$ を選んだ場合，
（右辺）＝ $(b-\cancel{a}\times\frac{a^2+ b^2-c^2}{2\cancel{a}b})\times\frac{a}{2R}$
$=\frac{2b^2-a^2-b^2+ c^2}{2b}\times\frac{a}{2R}$
$=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2b}\times\frac{a}{2R}$
$=\frac{a(b^2+ c^2-a^2)}{4bR}$
となって，両辺が等しくなる．
したがって， $(b-a\cos C)\sin A$ ･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

(9)
$\frac{a-c\cos B}{b-c\cos A}$

解説を読む

（左辺）＝ $\frac{a-\cancel{c}\times\frac{c^2+ a^2-b^2}{2\cancel{c}a}}{b-\cancel{c}\times\frac{b^2+ c^2-a^2}{2b\cancel{c}}}$ $=\frac{\frac{2a^2-c^2-a^2+ b^2}{2a}}{\frac{2b^2-b^2-c^2+ a^2}{2b}}$
$=\frac{a^2-c^2+ b^2}{2a}\times\frac{2b}{b^2-c^2+ a^2}=\frac{b}{a}$

（右辺）として， $\frac{\sin B}{\sin A}$ を選んだ場合，
（右辺）＝ $\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{\frac{b}{2R}}{\frac{a}{2R}}=\frac{b}{2R}\times\frac{2R}{a}=\frac{b}{a}$
となって，両辺が等しくなる．
したがって， $\frac{\sin B}{\sin A}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

（別解）第1余弦定理を用いると，次の答案が書ける

【第１余弦定理】
• a=b cos C+c cos B
• b=a cos C+c cos A

（左辺） $=\frac{a-c\cos B}{b-c\cos A}=\frac{b\cos C}{a\cos C}=\frac{b}{a}$

(10)
$\frac{\tan B}{\tan C}$

解説を読む

（左辺）＝ $\frac{\tan B}{\tan C}=\frac{\sin B}{\cos B}\times\frac{\cos C}{\sin C}$
$=\frac{\frac{b}{2R}}{\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}}\times\frac{\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}}{\frac{c}{2R}}$
$=\frac{\sout{b}}{\cancel{2R}}\times\frac{\sout{2ca}}{c^2+ a^2-b^2}\times\frac{a^2+ b^2-c^2}{\sout{2ab}}\times\frac{\cancel{2R}}{\sout{c}}$
$=\frac{a^2+ b^2-c^2}{c^2+ a^2-b^2}$

（右辺）として， $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$ を選んだ場合，両辺は等しくなる．
したがって， $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【選択肢】
$0$ $b^2-c^2$ $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$ $\frac{a^2+ b^2-c^2}{a^2-b^2+ c^2}$

$(b+ c)\sin A$ $\sin C(a\sin A+ b\sin B)$

$\frac{\sin B}{\sin A}$ $2(bc\cos A+ ca\cos B+ ab\cos C)$

$(b-a\cos C)\sin A$ $(c-b)(1+ \cos A)$

上記以外

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