高校数学・正弦定理と余弦定理

分数の方程式

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題）　• 分数型の方程式　• 余弦定理　• 三辺から角を求める問題　• 余弦定理を２次方程式として解く　• 三角形を解く　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角　• 三角形の形状問題　• 三角形の証明問題　• ヘロンの公式　• 内接円の半径　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，分数型の方程式のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 分数型の方程式 ==

　正弦定理を利用して問題を解くときには，次のような分数型の方程式がしばしば登場します.ここでは，正弦定理を利用するための準備として，分数型の方程式の変形を練習します.

(a)　 $\frac{x}{b}=\frac{c}{d}$ のように未知数が左辺の分子にある場合

両辺の分母にある $b,\hspace{5}d$ を２つとも払うために，両辺に $bd$ を掛けると
$dx=bc$
両辺を $d$ で割ると
$x=\frac{bc}{d}$ …（答）

初めの問題： $\frac{x}{b}=\frac{c}{d}$

答： $x=\frac{bc}{d}$
（ $b$ が対角方向に移動しただけ）

【問題１】　次の方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$\frac{x}{2}=\frac{5}{3}$

解説やり直す

$x=\frac{5}{6}$ $x=\frac{10}{3}$ $x=\frac{6}{5}$ $x=\frac{3}{10}$

（分母を払う解き方では）
分母の２と３を払うために，両辺に６を掛ける
$\frac{x}{2}\times 6=\frac{5}{3}\times 6$

$3x=10$
両辺を3で割る
$x=\frac{10}{3}$ …（答）

（移動させる解き方では）
２を斜めに掛け算で移動する
$x=\frac{10}{3}$ …（答）

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(2)
$\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$

解説やり直す

$x=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ $x=\frac{2\sqrt{5}}{3}$ $x=\frac{5\sqrt{6}}{6}$ $x=\frac{5\sqrt{6}}{2}$

（分母を払う解き方では）
分母の $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ を払うために，両辺に $\sqrt{6}$ を掛ける
$\sqrt{2}x=5\sqrt{3}$
両辺を $\sqrt{2}$ で割る
$x=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
右辺の分母を有理化する
$x=\frac{5\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$ …（答）

（移動させる解き方では）
$\sqrt{3}$ を斜めに掛け算で移動する
$x=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
右辺の分母を有理化する
$x=\frac{5\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$ …（答）

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※実際に正弦定理を使うときに出る形（暗算では無理です．計算用紙が必要です．）

(3)
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}}=\frac{3}{\sin 45^{\circ}}$

※計算には， $\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2},\hspace{5}\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ の値を使うこと．

解説やり直す

$a=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ $a=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $a=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ $a=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

（分母を払う解き方では）
分母の $\sin 30^{\circ}$ と $\sin 45^{\circ}$ を払うために，両辺に $\sin 30^{\circ}\times\sin 45^{\circ}$ を掛ける
$\sin 45^{\circ}a=3\sin 30^{\circ}$
両辺を $\sin 45^{\circ}$ で割る
$a=\frac{3\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$
三角比の値を代入する
$a=\frac{3\times\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$
2と $\sqrt{2}$ を払うために，分母分子に $2\sqrt{2}$ を掛ける
$a=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ …（答）

（移動させる解き方では）
$\sin 30^{\circ}$ を斜めに掛け算で移動する
$a=\frac{3\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$
以後は，左の答案と同じ
$a=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ …（答）

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(b)　 $\frac{a}{x}=\frac{c}{d}$ のように未知数が左辺の分母にある場合

両辺の分母にある $x,\hspace{5}d$ を２つとも払うために，両辺に $xd$ を掛けると
$ad=cx$
両辺を $c$ で割ると
$\frac{ad}{c}=x$ …（答）

初めの問題： $\frac{a}{x}=\frac{c}{d}$

答： $\frac{ad}{c}=x$
（ $x,c,d$ を対角方向に移動しただけ）

【問題２】　次の方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$\frac{2}{x}=\frac{5}{3}$

解説やり直す

$x=\frac{15}{2}$ $x=\frac{10}{3}$ $x=\frac{6}{5}$ $x=\frac{3}{10}$

（分母を払う解き方では）
分母の $x$ と３を払うために，両辺に $3x$ を掛ける
$6=5x$
両辺を5で割る
$\frac{6}{5}=x$
左辺と右辺を入れ換える
$x=\frac{6}{5}$ …（答）

（移動させる解き方では）
$x$ を右上に，３を左上に，５を左下に，それぞれ掛け算で移動する
$\frac{6}{5}=x$
左辺と右辺を入れ換える
$x=\frac{6}{5}$ …（答）

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(2)
$\frac{\sqrt{3}}{x}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

解説やり直す

$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ $x=\frac{\sqrt{6}}{3}$ $x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

（分母を払う解き方では）
分母の $x$ と $\sqrt{2}$ を払うために，両辺に $\sqrt{2}x$ を掛ける
$\sqrt{6}=3x$
両辺を3で割る
$\frac{\sqrt{6}}{3}=x$
左辺と右辺を入れ換える
$x=\frac{\sqrt{6}}{3}$ …（答）

（移動させる解き方では）
$x$ を右上に， $\sqrt{2}$ を左上に，3を左下に，それぞれ掛け算で移動する
$\frac{\sqrt{6}}{3}=x$
左辺と右辺を入れ換える
$x=\frac{\sqrt{6}}{3}$ …（答）

→閉じる←

※実際に正弦定理を使うときに出る形（暗算では無理です．計算用紙が必要です．）

(3)
$\frac{\sqrt{3}}{\sin A}=\frac{3}{\sin 60^{\circ}}$

※計算には， $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ の値を使うこと．

解説やり直す

$\sin A=\frac{1}{2}$ $\sin A=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$

（分母を払う解き方では）
分母の $\sin A$ と $\sin 60^{\circ}$ を払うために，両辺に $\sin 60^{\circ}\times\sin A$ を掛ける
$\sqrt{3}\sin 60^{\circ}=3\sin A$
両辺を3で割る
$\frac{\sqrt{3}}{3}\sin 60^{\circ}=\sin A$
左辺と右辺を入れ換える
$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin 60^{\circ}$
三角比の値を代入する
$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$ …（答）

（移動させる解き方では）
$\sin A$ を右上へ， $\sin 60^{\circ}$ を左上へ，3を左下へ掛け算で移動する
$\frac{\sqrt{3}}{3}\sin 60^{\circ}=\sin A$
以後は，左の答案と同じ
$\sin A=\frac{1}{2}$ …（答）

→閉じる←

両辺の分母にある $b,\hspace{5}d$ を２つとも払うために，両辺に $bd$ を掛けると
$ad=bx$
両辺を $b$ で割ると
$\frac{ad}{b}=x$ …（答）

初めの問題： $\frac{a}{b}=\frac{x}{d}$

答： $\frac{ad}{b}=x$
（ $d$ が対角方向に移動しただけ）

(d)　 $\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$ のように未知数が右辺の分母にある場合

両辺の分母にある $b,\hspace{5}x$ を２つとも払うために，両辺に $bx$ を掛けると
$ax=bc$
両辺を $a$ で割ると
$x=\frac{bc}{a}$ …（答）

初めの問題： $\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$

答： $x=\frac{bc}{a}$
（ $a,b,x$ を対角方向に移動しただけ）

【要点】
≪慎重に変形していくには≫ ⇒ 両辺の分母を払って考えるとよい
≪暗算でやるには≫ ⇒ 対角方向に移動させるとよい

※中学で習う「移項」とは違う．横に動かすのではない

【問題３】　次の方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$\frac{3}{\sin 45^{\circ}}=\frac{b}{\sin 60^{\circ}}$

（ $b$ を求める）

解説やり直す

$b=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $b=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ $b=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $b=\frac{3\sqrt{6}}{2}$

$b=\frac{3\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=\frac{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=3\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ …(答)

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