高校数学・正弦定理と余弦定理

三辺→角

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題）　• 分数型の方程式　• 余弦定理　• 三辺から角を求める問題　• 余弦定理を２次方程式として解く　• 三角形を解く　　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角　• 三角形の形状問題　• 三角形の証明問題　• ヘロンの公式　• 内接円の半径　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，三辺から角を求める問題のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 三辺→角 ==

《解説》
■　余弦定理a2=b2+c2−2bccosAをcosAについて解くと，
$\cos A=\frac{b^2 + c^2-a^2}{2bc}$
となり，三角形の三辺の長さが分かれば，角Ａ(の余弦)が求められます.B，Ｃについても同様です.これを利用すると，三辺の長さが与えられた三角形の任意の角が求められます.

数表がない場合でも，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°となる角が求められます．
数表があれば任意の角が求められます

■例題
　△ABCにおいて，a=5, b=12, c=13のとき角Cを求めなさい.

　（答案）
$\cos C=\frac{12^2 + 5^2-13^2}{2\times 5 \times 12}=0$
だからC=90°・・・(答)

《問題》
△ABCの三辺の長さが次のように与えられているとき，この三角形の角度について正しいものを表の中から選びなさい．

　（選択肢として表の中の１つの角度をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．）

(1)
　△ABCにおいて， $a=1,\hspace{3}b=\sqrt{3},\hspace{3}c=\sqrt{2}$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$c^2+ a^2=b^2$ だから
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=0\rightarrow B=90^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{3+ 2-1}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{1+ 3-2}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
→解答を隠す←

（※）どこから手を付けたらよいのか「見当もつかない」と思っている人へ→とりあえず，cos A, cos B, cos Cを計算してみましょう！それらの中に見覚えのある分数が出てきたら，解答につながります．
「無駄なく，最短距離で答えるには？」などと欲張らずに，いろいろ道草をして，周りから固めて星を追い詰めるという感じで頑張ってください．

(2)
　△ABCにおいて， $a=8,\hspace{3}b=7,\hspace{3}c=13$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{64+ 49-169}{112}=-\frac{56}{112}=-\frac{1}{2}\rightarrow C=120^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+ 169-64}{182}=\frac{154}{182}=\frac{11}{13}$
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{169+ 64-49}{208}=\frac{184}{208}=\frac{23}{26}$
→解答を隠す←

(3)
　△ABCにおいて， $a=2\sqrt{3},\hspace{3}b=5,\hspace{3}c=\sqrt{7}$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{12+ 25-7}{20\sqrt{3}}=\frac{30}{20\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow C=30^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+ 7-12}{10\sqrt{7}}=\frac{20}{10\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{7+ 12-25}{4\sqrt{21}}=-\frac{6}{4\sqrt{21}}=-\frac{3}{2\sqrt{21}}$ →解答を隠す←

(4)
　△ABCにおいて， $a=\sqrt{5},\hspace{3}b=\sqrt{2},\hspace{3}c=3$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{2+ 9-5}{6\sqrt{2}}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow A=45^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$ →解答を隠す←

(5)
　△ABCにおいて， $a=\sqrt{3},\hspace{3}b=\sqrt{13},\hspace{3}c=2$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{4 + 3-13}{4\sqrt{3}}=-\frac{6}{4\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow B=150^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{13+ 4-3}{4\sqrt{13}}=\frac{14}{4\sqrt{13}}=\frac{7}{2\sqrt{13}}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{3+ 13-4}{2\sqrt{39}}=\frac{12}{2\sqrt{39}}=\frac{6}{\sqrt{39}}$ →解答を隠す←

(6)
　△ABCにおいて， $a=2,\hspace{3}b=\sqrt{19},\hspace{3}c=3$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{9 + 4-19}{12}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}\rightarrow B=120^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{19+ 9-4}{6\sqrt{19}}=\frac{24}{6\sqrt{19}}=\frac{4}{\sqrt{19}}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+ 19-9}{4\sqrt{19}}=\frac{14}{4\sqrt{19}}=\frac{7}{2\sqrt{19}}$ →解答を隠す←

(7)
　△ABCにおいて， $a=\sqrt{3},\hspace{3}b=2,\hspace{3}c=1+\sqrt{6}$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{3+ 4-(7+ 2\sqrt{6})}{4\sqrt{3}}=\cdot \cdot \cdot =-\frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow C=135^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{4+ (7+ 2\sqrt{6})-3}{4(1+ \sqrt{6})}=\cdot \cdot \cdot =\frac{2+ 3\sqrt{6}}{10}$
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{3+ (7+ 2\sqrt{6})-4}{2\sqrt{3}(1+ \sqrt{6})}=\cdot \cdot \cdot =\frac{4+ \sqrt{6}}{10}$ →解答を隠す←

(8)
　△ABCにおいて， $a=\sqrt{2},\hspace{3}b=\sqrt{3},\hspace{3}c=\sqrt{5}$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$a^2+ b^2=c^2$ だから
$\\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=0\rightarrow C=90^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{3+ 5-2}{2\sqrt{15}}=\frac{3}{\sqrt{15}}$
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{5+ 2-3}{2\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}$ →解答を隠す←

(9)
　△ABCにおいて， $a=8,\hspace{3}b=7,\hspace{3}c=5$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

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$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}\rightarrow B=60^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}$ →解答を隠す←

(10)
　△ABCにおいて， $a=7,\hspace{3}b=7,\hspace{3}c=3$ のとき

∠A=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠B=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
∠C=	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°

解答を見る

$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+ 9-49}{30}=-\frac{15}{30}=-\frac{1}{2}\rightarrow A=120^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{11}{14}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{13}{14}$ →解答を隠す←

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