高校数学・正弦定理と余弦定理

内接円の半径

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題）　• 分数型の方程式　• 余弦定理　• 三辺から角を求める問題　• 余弦定理を２次方程式として解く　• 三角形を解く　　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角　• 三角形の形状問題　• 三角形の証明問題　• ヘロンの公式　• 内接円の半径　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，内接円の半径のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 内接円の半径 == 《解説
■三角形の内接円の半径の大きさは，面積と関係付けることができます.

　三角形の内接円の半径をｒとおく.
　三角形を右図のように3つに分けると，

と表せることが分かります.
　さらに， $\frac{a+ b+ c}{2}=s$ とおくと

S=rs

となります.

■三角形の面積は，いろんな求め方があります.そこで，ヘロンの公式などを用いて三角形の面積を求めておくと，内接円の半径が求まります.

【ヘロンの公式】
三辺の長さがa , b , cである三角形の面積Sを求めるには

まず， $s=\frac{a+ b+ c}{2}$ を求めておき

次に， $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ …(1)
とします。

(1)は $S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+ b+ c)(b+ c-a)(a+ c-b)(a+ b-c)$ …(2)

と書くこともできますが、教科書では通常(1)の形で書かれています．
(1)式を公式として，覚えて使います．

ヘロンの公式で求めた面積は，
他の方法で求めた面積と等しいはずだ
ということを使います.

【雑談】　小文字のsは何を表すか？
•　小文字のsは「半周長」(semiperimeter)のsを表すとされている･･･perimeterは「周の長さ」，semiは「半分」「準」を表す接頭辞：セミロング（ロングよりやや短い髪形），セミファイナル（準決勝），セミプロ（準専門の）.
　時々「小文字のsは何を表すのか？」とこだわる生徒がいるが，授業では， $s=\frac{a+ b+ c}{2}$ とおくと，"式全体が簡単になる"ということで済ませることが多い．（明確な目的もなしに話すよりは，"式が簡単になるから使う"で済ませるのが一つの知恵だと思う．あえて，余談に踏む込むとすれば「半分」ということを印象付けるためのエピソードとして，10分程度に収まる話がよいと思う．）

• 参考までに，「プラーグマグプタの公式」というのがあって，円に内接する四辺形の4辺の長さをa, b, c, d，半周長を $s=\frac{a+ b+ c+ d}{2}$ とおくと，この四辺形の面積は $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$ に等しいことが証明できる．
（高校生が覚えている必要はないが，高校の数学で証明できる）
この公式においても，小文字のsは半周長 $s=\frac{a+ b+ c+ d}{2}$ になっている．

≪例≫
　三角形の３辺の長さが，それぞれ13,14,15のとき，内接円の半径を求めなさい.

（答案）
$s=\frac{13+ 14+ 15}{2}=21$
　ヘロンの公式により， $S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$
他方，S=21r
ゆえに，r=4･･･(答)

《問題1》
三角形の3辺の長さが次のように与えられているとき，この三角形の内接円の半径を求めなさい．

下の選択肢の中から正しいと思うものをクリックしてください．選択肢を選べば採点結果と解説が読めます．見ているだけでは解説は出ません．

(1)
3, 4, 5

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

解答を見る

はじめに，ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。
$s=\frac{3+ 4+ 5}{2}=6$ を求めておき
$S=\sqrt{6\times(6-3)\times(6-4)\times(6-5)}=6$ とします。次に，S=rsを利用すると
6=6r　⇒　r=1 →解答を隠す←

(2)
9, 10, 17

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

解答を見る

はじめに，ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。
$s=\frac{9+ 10+ 17}{2}=18$ を求めておき
$S=\sqrt{18\times(18-9)\times(18-10)\times(18-17)}=36$ とします。次に，S=rsを利用すると
36=18r　⇒　r=2 →解答を隠す←

(3)
11, 13, 20

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

解答を見る

はじめに，ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。
$s=\frac{11+ 13+ 20}{2}=22$ を求めておき
$S=\sqrt{22\times(22-11)\times(22-13)\times(22-20)}=66$ とします。次に，S=rsを利用すると
66=22r　⇒　r=3
(答が順に1,2,3となってしまったのは単なるジョークです) →解答を隠す←

(4)
15, 26, 37

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

解答を見る

はじめに，ヘロンの公式を使って面積を求めておきます。
$s=\frac{15+ 26+ 37}{2}=39$ を求めておき
$S=\sqrt{39\times(39-15)\times(39-26)\times(39-37)}=156$ とします。次に，S=rsを利用すると
156=39r　⇒　r=4
(ジョークの続きでした) →解答を隠す←

《問題2》
次の三角形の内接円の半径を求めなさい.

下の選択肢の中から正しいと思うものをクリックしてください．選択肢を選べば採点結果と解説が読めます．見ているだけでは解説は出ません．

(1)
a=8, b=3, C=60°

$\sqrt{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

解答を見る

〇高校の数学で内接円の半径が簡単に求められるのは
S=rs
の関係式です。
$S=\frac{ab\sin C}{2}$
から面積 $S=6\sqrt{3}$ が求められます

〇　次に，余弦定理c2=a2+b2−2ab·cos Cからc=7
→ $s=\frac{a+ b+ c}{2}=9$ が求められます
〇　これらをS=rsに代入すると
$6\sqrt{3}=9r\hspace{2}\Longrightarrow\hspace{2}r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ →解答を隠す←

(2)
b=15, c=7, A=60°

$\sqrt{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

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〇 $S=\frac{bc\sin A}{2}$

から面積 $S=\frac{105\sqrt{3}}{4}$ が求められます
〇　余弦定理a2=b2+c2−2bc·cos Aからa=13
→ $s=\frac{a+ b+ c}{2}=\frac{35}{2}$
〇　これらをS=rsに代入すると
$\frac{105\sqrt{3}}{4}=\frac{35}{2}r\hspace{2}\Longrightarrow\hspace{2}r=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
→解答を隠す←

(3)
c=3, a=5, B=120°

$\sqrt{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

解答を見る

〇　 $S=\frac{ca\sin B}{2}$

から面積 $S=\frac{15\sqrt{3}}{4}$ が求められます
〇　次に，余弦定理b2=c2+a2−2bc·cos Aからb=7
→ $s=\frac{5+ 7+ 3}{2}=\frac{15}{2}$ が求められます
〇　これらをS=rsに代入すると
$\frac{15\sqrt{3}}{4}=\frac{15}{2}r\hspace{2}\Longrightarrow\hspace{2}r=\frac{\sqrt{3}}{2}$ →解答を隠す←

(4)
a=5, b=16, C=120°

$\sqrt{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

解答を見る

〇 $S=\frac{ab\sin C}{2}$
から面積 $S=20\sqrt{3}$ が求められます
〇　余弦定理c2=a2+b2−2ab·cos Cからc=19
→ $s=\frac{5+ 16+ 19}{2}=20$
〇　これらをS=rsに代入すると
$20\sqrt{3}=20r\hspace{2}\Longrightarrow\hspace{2}r=\sqrt{3}$
→解答を隠す←

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