高校数学・正弦定理と余弦定理

【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題） 　• 分数型の方程式 　• 余弦定理 　• 三辺から角を求める問題 　• 余弦定理を２次方程式として解く 　• 三角形を解く 　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角 　• 三角形の形状問題 　• 三角形の証明問題 　• ヘロンの公式 　• 内接円の半径 　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題） ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，筆算だけで解く問題(2)のマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 正弦定理,余弦定理--筆算で解く問題(2） == 三角形の辺と角の名前の付け方 　右図のような△ABCがあるとき (1) 頂点の名前A, B, Cを使ってその内角の大きさを表す． 　例えば，角Aとは∠CABのことを表す． (2) 各頂点の対辺の長さを対応する小文字で表す． 　例えば，角Aの対辺の長さをBC=aとする． 正弦定理 △ABCの外接円の半径をRとするとき が成り立つ．

正弦定理を使って三角形の辺や角を求める方法 (1) 辺の長さと角の大きさが１組分かっていれば，外接円の半径が求められる． 　例えば，Aとaが分かっていれば，外接円の半径Rが求められる． (2) a, A, Bのように１組の辺角(a, A)と他の１つの角(B)が分かっていれば，辺bが求められる． (3) a, A, bのように１組の辺角(a, A)と他の１つの辺(b)が分かっていれば，角Bが求められる． ※(3)では一般に角度が２つ求まる可能性があるが，Aと足すと180°以上になる角Bは解にならない．（Cが負になって三角形が描けない） 次のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Bを攻める） a b c A B C 角が２つ求まると３つ目はただ同然（中学の数学）：C=180°−(A+B)は「ただ」で手に入る a b c A B C 「上下1組がそろった」a, A（b, Bでもよい）と角Cを使って辺cを攻める 　結局，3つの辺と3つの角が全部分かる．［陣取りゲーム完了！］

【例題1】 　△ABCにおいて，a=6, A=120°のとき，外接円の半径Rを求めてください． 「上下1組（辺と角）がそろっていれば」外接円の半径Rが求まる．

･･･(答)

【問題1-1】 　△ABCにおいて，b=8, B=45°のとき，外接円の半径Rを求めてください． ［解答を見る］ 「上下1組がそろっていれば」外接円の半径Rが求まる． ･･･(答) →解答を隠す←

【問題1-2】 　△ABCにおいて，a=3, B=70°, C=80°のとき，外接円の半径Rを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 角が２つ求まると３つ目はただ同然（中学の数学）：A=180°−(B+C)は「ただ」で手に入る A=180°−(70°+80°)=30° 「上下1組がそろっていれば」外接円の半径Rが求まる． ･･･(答) →解答を隠す←

【例題2】 　△ABCにおいて，a=4, A=45°, B=60°のとき，bを求めてください． a b c A B C 次のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（bが求まる）

･･･(答)

【問題2-1】 　△ABCにおいて，a=6, A=135°, C=30°のとき，cを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 次のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（cが求まる） ･･･(答) →解答を隠す←

【問題2-2】 　△ABCにおいて，b=3, B=60°, C=75°のとき，aを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　角が２つ求まると３つ目はただ同然（中学の数学）：A=180°−(B+C)は「ただ」で手に入る A=180°−(60°+75°)=45° a b c A B C 　次のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（aが求まる） ･･･(答) →解答を隠す←

【例題3】 　△ABCにおいて，, b=1, A=60°のとき，Bを求めてください． a b c A B C 次のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Bが求まる）

B=30°, 150° B=150°のとき，A+B>180°となって不適当 B=30°･･･(答)

【問題3-1】 　△ABCにおいて，, c=2, C=45°のとき，Aを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 次のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Aが求まる） A=30°, 150° A=150°のとき，A+C>180°となって不適当 A=30°･･･(答) →解答を隠す←

【問題3-2】 　△ABCにおいて，a=2, , B=30°のとき，Aを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 次のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Aが求まる） A=45°, 135°･･･(答) →解答を隠す←

余弦定理 ･･･(1.1) ･･･(1.2) ･･･(1.3) が成り立つ． また，上記の式を変形すると，次の形に書ける． ･･･(2.1) ･･･(2.2) ･･･(2.3) 余弦定理を使って三角形の辺や角を求める方法 (1) 2辺とその間の角（例えば，b, cとA）が分かれば，aの長さが求まる．⇒(1.1)など 次のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていないとき」余弦定理を考える a b c A B C b, c, A⇒a

(2) 3辺の長さが分かれば，角度も求まる．⇒(2.1)など 次のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える a b c A B C a, b, c⇒A (3) 例えば，2辺とその間の角（例えば，a, cとA）が分かっているとき，bの長さが求まる．⇒(1.1)をbの２次方程式として解く ･･･(3.1) 【例題4】 　△ABCにおいて，b=5, c=4, A=60°のとき，aを求めてください． a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていないとき」余弦定理を考える ･･･(答)

【問題4-1】 　△ABCにおいて，a=3, c=4, B=120°のとき，bを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていないとき」余弦定理を考える ･･･(答) →解答を隠す←

【問題4-2】 　△ABCにおいて，a=2, , C=150°のとき，cを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていないとき」余弦定理を考える ･･･(答) →解答を隠す←

【例題5】 　△ABCにおいて，a=2, , のとき，Aを求めてください． a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える

A=45°･･･(答)

【問題5-1】 　△ABCにおいて，a=7, b=13, c=8のとき，Bを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える B=120°･･･(答) →解答を隠す←

【問題5-2】 　△ABCにおいて，a=1, , のとき，Cを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える C=150°･･･(答) →解答を隠す←

【例題6】 　△ABCにおいて，, b=2, のとき，Cを求めてください． a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える 　ここまでは「基本」であるが，数学Ⅰの筆算の範囲（定期試験や大学入試でコンピュータ，数表持ち込みが許可されていない場合）では，通常15°,　75°, 105°などの三角比は覚えない． • 数学Ⅱで，加法定理や半角公式を習うと を求めることができるが，「この値を覚えていること」までは通常要求されない． • コンピュータを使える場合は，sin75°=0.9659, cos75°=0.2588などが使えるが，これらは近似値である．

そこで，15°,75°,105°などの三角比が登場するときは，他の2つの角の値から「迂回して」 「C=180°−(A+B)」 により求めることを考える． ※これ以上は進めないので保留にする A=30° B=45° C=180°−(A+B)=180°−75°=105°･･･(答)

【問題6-1】 　△ABCにおいて，, b=2, のとき，Aを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える 　だたし，この問題ではの値が，よく知られた値にならないので，B, Cの値から迂回して求めることを考える． B=30° C=135° A=180°−(A+C)=180°−165°=15°･･･(答) →解答を隠す←

【問題6-2】 　△ABCにおいて，, , c=2のとき，Bを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組もそろっていない」かつ「角度が１つも書いてない」とき「余弦定理の変形型」を考える 　だたし，この問題ではの値が，よく知られた値にならないので，A, Cの値から迂回して求めることを考える． A=60° C=45° B=180°−(A+B)=180°−105°=75°･･･(答) →解答を隠す←

【例題7】 　△ABCにおいて，a=2, , A=45°のとき，bを求めてください． a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Cが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，問題で求めたいものがCではなくてbである場合

(3.1)で述べたように，角Aを使った余弦定理をbの２次方程式として解くことができる ･･･（答） 右図のように2つの図形が描けるので，２つとも解になる

【問題7-1】 　△ABCにおいて，a=2, , B=30°のとき，cを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Aが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，問題で求めたいものがAではなくてcである場合 　(3.1)で述べたように，角Bを使った余弦定理をcの２次方程式として解くことができる ･･･（答） →解答を隠す←

【問題7-2】 　△ABCにおいて，b=6, , B=135°のとき，aを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Cが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，問題で求めたいものがCではなくてaである場合 　(3.1)で述べたように，角Bを使った余弦定理をaの２次方程式として解くことができる ･･･（答） →解答を隠す←

【例題8】 　△ABCにおいて，a=4, A=75°, B=45°のとき，bを求めてください． a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（bが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，A=75°は使いにくい（少なくとも数学Ⅰでは覚えない） 　b, cを未知数として連立方程式を解いてもよい． A+B+C=180°だからC=60° 正弦定理を用いると ･･･(#1)

角Cを使った余弦定理を用いると ･･･(#2) (#1)を(#2)に代入する ･･･（答）

【問題8-1】 　△ABCにおいて，, B=45°, C=105°のとき，aを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（bが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，C=105°は使いにくい（少なくとも数学Ⅰでは覚えない） 　a, bを未知数として連立方程式を解いてもよい． A+B+C=180°だからA=30° 正弦定理を用いると ･･･(#1) 角Bを使った余弦定理を用いると ･･･(#2) (#1)を(#2)に代入する ･･･（答） →解答を隠す←

【問題8-2】 　△ABCにおいて，a=2, A=15°, B=30°のとき，bを求めてください． ［解答を見る］ a b c A B C 　右のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（bが求まる）というのが正弦定理の使い方の基本であるが，A=15°は使いにくい（少なくとも数学Ⅰでは覚えない） 　b, cを未知数として連立方程式を解いてもよい． 　A+B+C=180°だからC=135° 正弦定理を用いると ･･･(#1) 角Bを使った余弦定理を用いると ･･･(#2) (#1)を(#2)に代入する 解の公式により ところで，A=15°, B=30°, C=135°だから したがって 上記の計算の結果 ≒2.449−1.414≒1.035<aは条件に合わない ･･･（答） →解答を隠す←