正弦定理,余弦定理(共通,センター問題)
【単元の目次】
《数学Ⅰ・A》
数と式  • 根号計算  • 場合の数.順列.組合せ  • 確率  • 2次関数 • 2次不等式  • 集合・命題・条件・証明  • 正弦定理,余弦定理
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== 正弦定理,余弦定理(共通,センター問題) ==

== 難易などの目安 ==
《考え方》
  ★:易しい,★★:普通,★★★:難しい
《計算量》
  ☆:少ない,☆☆:普通,☆☆☆:多い
【2014年度センター試験.数学Ⅰ・A】
 ABCは,AB=4, BC=2, ABC=を満たすとする。このとき
CA=, cos∠BAC=
, sin∠BAC=
エオ

であり,ABCの外接円Oの半径は
クケ
コサ

である。ABCの二等分線とBACの二等分線の交点をD,直線BDと辺ACの交点をE,直線BDと円Oとの交点でBと異なる交点をFとする。
(1) このとき
AE=
, BE=
ソタ
, BD=
テト

となる。
(2) EBCの面積はEAFの面積の
倍である。

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【2015年度センター試験.数学Ⅰ・A】
 ABCにおいて,AB=3, BC=5, ABC=120°とする。
このとき,
AC=,
sin∠ABC=
であり,

sin∠BCA=
コサ
である。

 直線BC上に点Dを,かつADCが鋭角,となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし,APCの外接円の半径をRとすると,Rのとり得る値の
範囲は
R である。

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【2016年度センター試験.数学Ⅰ・A】
 ABCの辺の長さと角の大きさを測ったところ,
AB=およびACB=60°であった。したがって,ABCの外接円の半径はである。
 外接円Oの,点Cを含む弧AB上で点Pを動かす。
(1) 2PA=3PBとなるのは
PA=ウエ
のときで

ある。
(2) PABの面積が最大となるのは
PA=

のときである。
(3) sin∠PBAの値が最大となるのはPA=キクのときであり,このときPABの面積は
ケコ
である。

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【2017年度センター試験.数学Ⅰ・A】
 ABCにおいて,AB=BC=ACB=60°とする。
(1) AC=
であるから,ABCの外接円の半径は

であり

sin∠BAC=
+

である。ただし,の解答の順序は問わない。
(2) 辺AC上に点Dを,ABDの面積がになるようにとるとき
AB·AD=

であるから,AD=
である。

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【2018年度センター試験.数学Ⅰ・A】
[1] 四角形ABCDにおいて,3辺の長さをそれぞれAB=5, BC=9, CD=3,対角線ACの長さをAC=6とする。このとき
cos∠ABC=
, sin∠ABC=

である。
 ここで,四角形ABCDは台形であるとする。
 次の,には下の⓪~②から,には③・④から当てはまるものを一つずつ選べ。
 CDAB·sinABCであるからである.
   ⓪ <①  =②  >
③ 辺ADと辺BCが平行 ④ 辺ABと辺CDが平行
 したがって
BD=ケコ

である。
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【2019年度センター試験.数学Ⅰ・A】
[1] ABCにおいて,AB=3, BC=4, AC=2とする。
 次のには,下の⓪~②のうちから当てはまるものを一つ選べ。
cos∠BAC=
アイ
であり, BACである。

また,
sin∠BAC=
オカ
である。

 ⓪ 鋭角① 直角② 鈍角
 線分ACの垂直二等分線と直線ABの交点をDとする。
cos∠CAD=
であるから, AD=であり,

DBCの面積は
シス
である。

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【2020年度センター試験.数学Ⅰ・A】
[1] ABCにおいて,とする。ACBの二等分線と辺ABの交点をDとし,cos∠BCD=とする。このとき,BD=であり
sin∠ADC=
イウ

である。
であるから

AD=
である。また,ABCの外接円の半径は

である。
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【2021年度 共通テスト.数学Ⅰ・A】
[2] 右の図のように,ABCの外側に辺AB, BC, CAをそれぞれ1辺とする正方形ADEB, BFGC, CHIAをかき,2点EFGHIDをそれぞれ線分で結んだ図形を考える。以下において
BC=a, CA=b, AB=c
CAB=A, ABC=B, BCA=C
とする。
(1) b=6, c=5, のとき,

であり,ABCの面積はタチAIDの面積は
ツテである。
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(2) 正方形BFGC, CHIA, ADEBの面積をそれぞれとする。このとき,
0°<A<90°のとき,
A=90°のとき,
90°<A<180°のとき,
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
0  0である
① 正の値である
② 負の値である
③ 正の値も負の値もとる
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(3) AIDBEFCGHの面積をそれぞれT1, T2, T3とする。このとき,である。
の解答群
0  a<b<cならば,T1>T2>T3
① a<b<cならば,T1<T2<T3
② Aが鈍角ならば,T1<T2 かつ T1<T3
③ a, b, cの値に関係なく,T1=T2=T3
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(4) ABCAIDBEFCGHのうち,外接円の半径が最も小さいものを求める。
 0°<A<90°のとき,IDBCであり
 (AIDの外接円の半径)ABCの外接円の半径)
であるから,外接円の半径が最も小さい三角形は
0°<A<B<C<90°のとき,である。
0°<A<B<90°<Cのとき,である。
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
0  <    ① =    ② >

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
0  ABC ① AID ② BEF ③ CGH
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【2022年度 共通テスト.数学Ⅰ・A】
[3] 外接円の半径が3であるABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
(1) AB=5, AC=4とする。このとき
sin∠ABC=
AD=
チツ

である。
(2) 2辺AB, ACの長さの間に2AB+AC=14の関係があるとする。
 このとき,ABのとり得る値の範囲はAB
であり,
AD=
ニヌ
AB2+
AB

と表せるので,ADの長さの最大値はである。
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