高校数学・正弦定理と余弦定理

余弦定理

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題）　• 分数型の方程式　• 余弦定理　• 三辺から角を求める問題　• 余弦定理を２次方程式として解く　• 三角形を解く　　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角　• 三角形の形状問題　• 三角形の証明問題　• ヘロンの公式　• 内接円の半径　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，余弦定理のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■余弦定理
■はじめに■…この頁を学習すると、何ができるようになるのか

■三平方の定理の拡張…（中学校の数学との関係）
　右図1のような直角三角形については、 a2=b2+c2 …（1）が成り立ちます。（三平方の定理）
　では、図2のように∠Aが90°でないときには、この定理はどんな形になるのでしょうか。
　図2のようにb , cの値が変わらずに、∠Aが90°よりも小さくなると、図1のときと比べてaの値は小さくなるはずです。 a2=b2+c2−|??| …（2）　また、∠Aが90°よりも大きくなると、図1のときと比べてaの値は大きくなるはずです。 a2=b2+c2+|??| …（3）　この頁を学習すると、|??|に入る式が分かり、直角三角形でない場合でも第3の辺aの長さを求めることができるようになります。

■三角形の合同条件・決定条件との関係…（中学校の数学との関係）
　図3、図4のような三角形において、二辺（b , c）とその間の角（A）が与えられると三角形は決まります。（三角形の合同条件・決定条件）
　中学校ではこの「決まる」という定性的な性質までを習いますが、ではそれは「幾ら」になるのかという定量的な取り扱いまでは行いません。
　この頁を学習すると、二辺（b , c）とその間の角（A）から第3の辺（a）の長さを計算で求めることができるようになります。

　三角形の合同条件・決定条件には、この他「3辺が与えられると三角形は決まる」というのもあります。
　これによれば、3辺の長さが与えられれば、3つの角度もすべて決まるはずですので、「3辺の長さ」→「3つの角の大きさ」という計算ができるはずになります。
　この頁を学習すると、「3辺の長さ」から「3つの角の大きさ」を計算することができるようになります。

図1

図2

図3

図4

図5

■余弦定理

　△ABCについて次の関係式が成り立ちます。

a2=b2+c2−2bccosA …(A) b2=c2+a2−2cacosB …(B) c2=a2+b2−2abcosC …(C)

※ (A)だけ覚えればよく、残り2つはお互いの関係から分かります。 (自分)2=(他人)2+(他人)2−2(他人)(他人)cos親子

【例1】
b=5, c=3 , A=120°のとき、aを求めるには
a2=52+32−2×5×3×cos120°=49
a=7 (>0) …（答）

【余弦定理(A)の証明】

b, c , Aが与えられているとき、直角三角形AHCの3辺の長さが求まるので、HB , HCの値から三平方の定理を使って BCを求めます。

　右図6において、頂点Cから辺ABに引いた垂線をCHとする。
　△AHCは直角三角形だから、
　　 $\sin A=\frac{CH}{b}$ 　→ CH=bsinA
　　 $\cos A=\frac{AH}{b}$ 　→ AH=bcosA → BH=c−bcosA
　△BCHは直角三角形だから、三平方の定理により
　　a2=(bsinA)2+(c−bcosA)2
　　　=b2sin2A+c2−2bccosA+b2cos2A
　　　=b2(sin2A+cos2A)+c2−2bccosA
　　　=b2+c2−2bccosA

∠Aが90°よりも大きいときは、上の証明でcosA<0となるが同様にして示すことができます。また、∠A=90°のときは、cosA=0となり、三平方の定理によりa2=b2+c2が成り立ちます。■
(B)(C)についても同様にして示されます。

図6

（参考）
　余弦定理において、∠A>90°のとき a2=b2+c2+|??| …（3）の+|??|の部分は、次のように足し算になります。

　例えば、上の【例1】においてA=120°のとき、cosA=−1/2になりますので、

　a2=52+32−2×5×3× (−1/2)
　　　=52+32+15

【例2】
　△ABCにおいて、b=2 , c=3 , A=60°のとき、aを求めてください。

（解答）
　a2=22+32−12cos60°=4+9−6=7

　これはまだ答ではありません！
余弦定理から出てくるのはa2の値なので、その正の平方根を求めて答にします。

　a= (>0) …（答）

【例3】
　△ABCにおいて、a=7 , b=8 , C=120°のとき、cを求めてください。

（解答）
　c2=82+72−2·56cos120°=169
　c=13 (>0) …（答）

【余弦定理を理解するために前提となる事柄】
　「余弦」とは三角関数のうちのcosθの値のことで、余弦定理を使うためには0°～180°の余弦の値が言えなければなりません。
　実際に、宙で暗記して言えなければならなのは次の9つの値だけです。

θ	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
cosθ	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	−1

■（正弦定理と余弦定理の見分け方）
　この問題だけを見れば「公式に当てはめるだけ」に見えますが、範囲が広くなると「正弦定理」「余弦定理」のどちらに当てはめるのか迷ってしまう場合があります。
　次のような「作戦盤」を書いて、上下（辺と角）１組が分かっていれば「正弦定理」で解けます。辺と角が１つもそろわなければ「余弦定理」で解けます。
（「作戦盤」というのはここだけの話で、答案に表を書くのは構いませんが「作戦盤」という言葉を書くと笑われます。）

a	b	c
A	B	C

この問題では、辺と角が１つもそろわないので「余弦定理」を使います。

【問題１】　次の各問に答えてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
△ABCにおいて， $b=2,\hspace{5}c=1,\hspace{5}A=60^{\circ}$ のとき，aを求めてください．

解説やり直す

$1$ $\sqrt{3}$ $2$ $2\sqrt{3}$

$a^2=2^2+ 1^2-2\times 2\times 1\times\cos 60^{\circ}$
$=4+ 1-2\times 2\times 1\times\frac{1}{2}=3$
$a=\sqrt{3}\hspace{1}(\gt 0)$ …（答）

→閉じる←

(2)
△ABCにおいて， $a=3\sqrt{2},\hspace{5}b=3,\hspace{5}C=45^{\circ}$ のとき，cを求めてください．

解説やり直す

$3$ $2\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$ $3\sqrt{6}$

$c^2=(3\sqrt{2})^2+ 3^2-2\times 3\sqrt{2}\times 3\times\cos 45^{\circ}$
$=18+ 9-2\times 3\sqrt{2}\times 3\times\frac{1}{\sqrt{2}}=9$
$c=3\hspace{1}(\gt 0)$ …（答）

→閉じる←

(3)
△ABCにおいて， $c=3,\hspace{5}a=3\sqrt{3},\hspace{5}B=30^{\circ}$ のとき，bを求めてください．

解説やり直す

$3$ $2\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$ $6\sqrt{3}$

$b^2=3^2+ (3\sqrt{3})^2-2\times 3\times 3\sqrt{3}\times\cos 30^{\circ}$
$=9+ 27-2\times 3\sqrt{3}\times 3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=9$
$b=3\hspace{1}(\gt 0)$ …（答）

→閉じる←

(4)
△ABCにおいて， $a=1+\sqrt{3},\hspace{5}c=2,\hspace{5}B=30^{\circ}$ のとき，bを求めてください．

解説やり直す

$1$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$

$b^2=(1+\sqrt{3})^2+ 2^2-2\times (1+\sqrt{3})\times 2\times\cos 30^{\circ}$
$=4+ 2\sqrt{3}+ 4-2\times (1+\sqrt{3})\times 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=8+ 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-6=2$
$b=\sqrt{2}\hspace{1}(\gt 0)$ …（答）

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■3辺の長さから3つの角を求めるには

　a2=b2+c2−2bccosAという関係式が成り立つときに、この式をb , c , Aが分かっているときにaを求める： a2=b2+c2−2bccosA という使い方に限られるわけではありません。
　余弦定理を変形すれば、b , c , aが分かっているときにAを求めるという使い方もできます： a2=b2+c2−2bc cosA

この式をよく見ると、「右辺は辺の長さだけ」でできており、左辺は角度だけでできています。
したがって、この式を利用すると「3辺の長さ」から、「角A」を求めることができます。
（正確には、角AそのものではなくcosAが求まりますが、cosAが分かれば（三角関数表があればAが求まります。）

　同様にして(B)(C)を変形すれば、B , Cが求まりますので、次にようにまとめることができます。

【余弦定理】（の変形）
　△ABCについて次の関係式が成り立ちます。

a2=b2+c2−2bc cos A …(A’) b2=c2+a2−2ca cos B …(B’) c2=a2+b2−2ab cos C …(C’)

※ (A’)だけ覚えればよく、残り2つはお互いの関係から分かります。すべて、

の形をしています。

【例4】
　△ABCにおいて、a=8 , b=7 , c=5のとき、Bを求めてください。

「作戦盤」

a	b	c
A	B	C

この問題では、辺と角が１つもそろわないので「余弦定理」を使います。

（解答）
　

　B=60° …（答）

※ cosθは0°から180°まですべて異なる値になりますので、cosθからθを求めるとただ1つの値に決まります。

【例5】
　△ABCにおいて、a=, b=, c=のとき、Cを求めてください。

「作戦盤」

a	b	c
A	B	C

この問題では、辺と角が１つもそろわないので「余弦定理」を使います。

（解答）
　

　C=90° …（答）

【問題２】　次の各問に答えてください．（暗算では無理です．計算用紙で十分計算してから，選択肢をクリック）

(1)
△ABCにおいて， $a=\sqrt{6},\hspace{5}b=2,\hspace{5}c=1+\sqrt{3}$ のとき，Aを求めてください．

解説やり直す

$30^{\circ}$ $45^{\circ}$ $60^{\circ}$ $90^{\circ}$

$\cos A=\frac{2^2+(1+ \sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}{2\times 2\times(1+ \sqrt{3})}=\frac{4+ 4+ 2\sqrt{3}-6}{4(1+ \sqrt{3})}$
$=\frac{2(1+ \sqrt{3})}{4(1+ \sqrt{3})}=\frac{1}{2}$
A=60°…（答）

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(2)
△ABCにおいて， $a=\sqrt{3},\hspace{5}b=\sqrt{6},\hspace{5}c=\sqrt{15}$ のとき，Cを求めてください．

解説やり直す

$90^{\circ}$ $120^{\circ}$ $135^{\circ}$ $150^{\circ}$

$\cos C=\frac{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2-(\sqrt{15})^2}{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{6}}=\frac{3+ 6-15}{6\sqrt{2}}$
$=\frac{-6}{6\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
C=135°…（答）

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(3)
△ABCにおいて， $a=7,\hspace{5}b=5,\hspace{5}c=3$ のとき，Aを求めてください．

解説やり直す

$90^{\circ}$ $120^{\circ}$ $135^{\circ}$ $150^{\circ}$

$\cos A=\frac{5^2+ 3^2-7^2}{2\times 5\times 3}=\frac{25+ 9-49}{30}$
$=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$
A=120°…（答）

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(4)
△ABCにおいて， $a=\sqrt{2},\hspace{5}b=2,\hspace{5}c=1+\sqrt{3}$ のとき，Bを求めてください．

解説やり直す

$30^{\circ}$ $45^{\circ}$ $60^{\circ}$ $90^{\circ}$

$\cos B=\frac{(\sqrt{2})^2+ (1+\sqrt{3})^2-2^2}{2\times\sqrt{2}\times (1+\sqrt{3})}=\frac{2+ 4+ 2\sqrt{3}-4}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}$
$=\frac{2+ 2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}=\frac{2(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
A=45°…（答）

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■余弦定理を2次方程式として使うには

a2=b2+c2−2bccosAという関係が成り立つとき、a , b , Aが分かっているときにこれを、cの2次方程式として解くことができます。

【例6】
　△ABCにおいて、a=7 , b=5 , A=60°のとき、cを求めてください。

（解答）
　72=52+c2−2×5ccos60°
　c2−5c−24=0
　(c−8)(c+3)=0
　c=8 (>0) …（答）

この問題に対して「作戦盤」を作ると次のようになり、aとAで辺と角がそろうので、「正弦定理」でBが求められますが、それ以外にここで行ったような「余弦定理の2次方程式」という切り込み方があるということです。

a	b	c
A	B	C

【例7】
　△ABCにおいて、a=2 , b=2 , A=30°のとき、cを求めてください。

「作戦盤」

a	b	c
A	B	C

（解答）
　

　c2−6c+8=0
　(c−4)(c−2)=0
　c=4 , 2 …（答）
（この問題で、正弦定理を用いてBを求めても、解は2つ出ます。）

■1辺とその両端の角が与えられた問題
　三角形の合同条件・決定条件は3つあります：

(1) 3辺が与えられたとき
(2) 2辺とその間の角が与えられたとき
(3) 1辺とその両端の角が与えられたとき

(1)(2)は、上に述べたように（はじめの一歩は）余弦定理で解くことができます。

a	b	c
A	B	C

　(3)は右図のような場合で、作戦盤を書くと2つの角度が分かっていることになります。このような場合には高校で習う「正弦定理」や「余弦定理」以前の解き方があり、中学で習う三角形の内角の和の公式 A+B+C=180° A=180°−B−C を使えば、残り1つの角は即答できることになります。

【特急券あり型】
　角が2つ分かっている　⇒　残り1つは即答できます

（参考）
　「2辺とその間にない角が与えられたとき」は、三角形の合同条件・決定条件に対応していません。
　右図のようにa , b , Aが与えられたとき、これらの値によっては三角形が2つ描けることがあります。そこで、次のような作戦盤になるときは解が２つになることがあります。

a	b	c
A	B	C

a	b	c
A	B	C

【問題３】　次の各問に答えてください．（暗算では無理です．計算用紙で十分計算してから，選択肢をクリック）

(1)
△ABCにおいて， $b=\sqrt{3},\hspace{5}c=1,\hspace{5}B=60^{\circ}$ のとき，aを求めてください．

解説やり直す

$1$ $2$ $3$ $4$

$b^2=a^2+ c^2-2ac\cos B$ に代入すると
$3=a^2+ 1-2a\times\frac{1}{2}$
$a^2-a-2=0$
$(a-2)(a+ 1)=0$
a=2 (>0)…（答）
※この問題は，１組の辺と角（b, B）が与えられているので，正弦定理でも解けます．

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(2)
△ABCにおいて， $b=5,\hspace{5}a=7,\hspace{5}A=120^{\circ}$ のとき，cを求めてください．

解説やり直す

$1$ $2$ $3$ $4$

$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入すると
$49=25+ c^2-10c\times(-\frac{1}{2})$
$c^2+ 5c-24=0$
$(c+ 8)(c-3)=0$
c=3 (>0)…（答）
※この問題は，１組の辺と角（a, A）が与えられているので，正弦定理でも解けます．

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