高校数学・正弦定理と余弦定理

筆算固有の問題

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題）　• 分数型の方程式　• 余弦定理　• 三辺から角を求める問題　• 余弦定理を２次方程式として解く　• 三角形を解く　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角　• 三角形の形状問題　• 三角形の証明問題　• ヘロンの公式　• 内接円の半径　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，筆算だけで解く問題(1)のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 筆算だけで解く問題(1) ==

■　筆算だけで解くとは

　自宅や学校で学習しているときは，教科書の巻末についている三角関数表を見ることもできますし，あればコンピュータも利用することができます．だから，普通の状況では，sin46°とかcos12°のような覚えていない角度の三角比の値でも自由に使える（ただし小数点以下第４位までの小数の値）ことになっています．
　これに対して数学の試験の場合には，特に許可されない限り数表やコンピュータ，携帯電話は持ち込めないのが普通です．このように，高校生が最もよく出遭う場面では，問題は「筆算だけ」で解かなければなりません．
　このように数学の試験のように「筆算だけで解かなければならない問題」ではsin75°，cos105°のような値は，覚えていないから使えないことになります．

　そこで，sin75°，cos105°などの値が必要になったら，別の角度を利用する方法を探します.
　このときに用いられるものには，「正弦定理」「余弦定理」の他「余弦定理で２次方程式を作る方法」「第一余弦定理」「三角形の内角の和」などがあります.

正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
（第2）余弦定理 $a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$
余弦定理で(aの)２次方程式を作る：

b2=c2+a2−2ca cos Bなど

三角形の内角の和 A+B+C=180°
第１余弦定理 a=b cos C+c cos B

［第一余弦定理］
(解説）
次の図のように，Ａから垂線をひくと，
a=b cos C+c cos B

　この関係はＢ≧90°またはＣ≧90°の場合にも成立します.
　第一余弦定理は，1つの辺(ａ)の大きさを求めるために，辺の長さ２個，角の大きさ２個を必要とするため，余弦定理よりも「弱い」定理ですが，角Ａの値が利用できないような場合に有効です.
　この関係を第一余弦定理，(通常用いる)余弦定理のことを第二余弦定理と呼ぶことがあります.

例
　a=2, A=45°, C=75°のとき辺cの長さを求めなさい.

(第一印象)
　正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ を利用すればcが求められるように思えますが，sin75°の値が使えません.(図↑×)

(答案)
三角形の内角の和は180°だから，B=60°(図↑○)･･･(1)
正弦定理により， $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ だから， $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{6}$ (図↑○)･･･(2)
第一余弦定理により， $c=a\cos B+ b\cos A=2\times\frac{1}{2}+\sqrt{6}\times\frac{1}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{3}$ (図→○)・・・(答)

参考：
(別解1)　上記の(1)(2)まで同じ答案を書いたとする．
$A=45^{\circ},\hspace{3}a=2,\hspace{3}b=\sqrt{6}$ から角Aを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，

　a2=b2+c2−2bc cos A
　 $4=6+ c^2-2\sqrt{6}c\times\frac{1}{\sqrt{2}}$
　 $c^2-2\sqrt{3}c+ 2=0$
解の公式から $c=\sqrt{3}\pm 1$ ･･･（このままでは，いずれが答か，両方とも答なのか決まりません.）
「C>Aによりc>a」(** 角度が大きければ対応する辺も大きい)となるから $c=\sqrt{3}+ 1$ ･･･(答)

**「三角形において，角度が大きければ対応する辺も大きい」という定理は，広く使える．特に「最大角には最大辺が，最小角には最小辺が対応する」という形でよく使う．
　次の式「A>B⇔a>b」は下記のように，図で示せる．

ア）B<A≦90°のとき，正弦定理により
　a=2Rsin A
　b=2Rsin B だからa>b
イ） B<90°<Aのとき，右図の○のときに，A+B=180°になって三角形ができないから，Bは○よりも小さな角度でなければならない．このとき，sin A>sin Bとなるから，ア）の場合と同様に正弦定理を用いて，a>bが示せる．

(別解2)　上記の(1)(2)まで同じ答案を書いたとする．
$B=60^{\circ},\hspace{3}b=\sqrt{6}$ から角Bを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，
　b2=c2+a2−2ac cos B
　 $6=c^2+ 4-4\times c\times\frac{1}{2}$
　c2−2c−2=0
　解の公式から $c=1\pm\sqrt{3}$ , c>0により $c=1+\sqrt{3}$ ･･･(答)

※(第二)余弦定理で２次方程式を作る方法は，有力な方法です.この方法を用いるときには，見かけの解が２つ登場する場合がありますので，上の例のように吟味して答を選びます.

《問題》
次の△ABCについて，指定されたものを下の選択肢から選んで，クリック（タップ）しなさい．

　（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．）

(1)
　△ABCにおいて， $a=2\sqrt{2},\hspace{3}b=2,\hspace{3}B=30^{\circ}$ のとき，辺cの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
解答を見る

≪２つとも解か？≫

図の△A1BC，△A2BCのいずれも条件を満たしている

余弦定理b2=c2+a2−2ca cos B
に代入
$4=c^2+ 8-2c\times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$c^2-2\sqrt{6}c+4=0$
解の公式を使って解くと
$c=\sqrt{6}\pm \sqrt{2}$
→解答を隠す←

(2)
　△ABCにおいて， $a=2\sqrt{3},\hspace{3}b=2\sqrt{2},\hspace{3}A=120^{\circ}$ のとき，辺cの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
解答を見る

≪別解≫ 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ からB=45°
次に，第1余弦定理
c=a cos B+b cos A
$=2\sqrt{3}\times\frac{1}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}\times\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}$

辺が２つ分かっているので，
cos Aを含む余弦定理
a2=b2+c2−2bc cos Aに代入
$12=8+ c^2-2\times 2\sqrt{2}\times c(-\frac{1}{2}})$
$c^2+2\sqrt{2}c-4=0$
解の公式により
$c=-\sqrt{2}\pm\sqrt{6}$
$c\gt 0$ により $c=-\sqrt{2}+\sqrt{6}$

→解答を隠す←

(3)
　△ABCにおいて， $a=3+\sqrt{3},\hspace{3}b=2\sqrt{3},\hspace{3}B=45^{\circ}$ のとき，辺cの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
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辺が２つ分かっているので，cos Bを含む余弦定理
b2=c2+a2−2ca cos Bに代入
$12=c^2+ (3+ \sqrt{3})^2-2c(3+ \sqrt{3})\times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$c^2-\sqrt{2}(3+ \sqrt{3})c+ 6\sqrt{3}=0$
$(c-3\sqrt{2})(c-\sqrt{3}\sqrt{2})=0$
$c=3\sqrt{2},\sqrt{6}$ →解答を隠す←

(4)
　△ABCにおいて， $a=\sqrt{6},\hspace{3}A=30^{\circ},\hspace{3}B=15^{\circ}$ のとき，辺cの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
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三角形の内角の総和は180°だから
C=180°−(A+B)=135°
A=30°,C=135°を使って正弦定理により解くと
$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$
$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}\times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{1}=2\sqrt{3}$
※角度が2個与えられている問題では，角度が3個決まるので，形は1つ→（辺が少なくとも1つ与えられているから）答えは１つ
→解答を隠す←

(5)
　△ABCにおいて， $b=2,\hspace{3}B=30^{\circ},\hspace{3}C=105^{\circ}$ のとき，辺aの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
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三角形の内角の総和は180°だから
A=180°−(B+C)=45°
A=45°,B=30°を使って正弦定理により解くと
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$
$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{2\times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}}=2\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{1}=2\sqrt{2}$
※角度が2個与えられている問題では，角度が3個決まるので，形は1つ→（辺が少なくとも1つ与えられているから）答えは１つ
→解答を隠す←

(6)
　△ABCにおいて， $a=\sqrt{2},\hspace{3}B=105^{\circ},\hspace{3}C=45^{\circ}$ のとき，辺cの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
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三角形の内角の総和は180°だから
A=180°−(B+C)=30°
A=30°,C=45°を使って正弦定理により解くと
$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$
$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{1}=2$
※角度が2個与えられている問題では，角度が3個決まるので，形は1つ→（辺が少なくとも1つ与えられているから）答えは１つ
→解答を隠す←

(7)
　△ABCにおいて， $b=2,\hspace{3}A=15^{\circ},\hspace{3}B=135^{\circ}$ のとき，辺cの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
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三角形の内角の総和は180°だから
C=180°−(A+B)=30°
B=135°,C=30°を使って正弦定理により解くと
$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
$c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{2\times \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=2\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$
（参考）
正弦定理でaを先に求める方法もAが15°なので筆算では行き詰ります．
※角度が2個与えられている問題では，角度が3個決まるので，形は1つ→（辺が少なくとも1つ与えられているから）答えは１つ
→解答を隠す←

(8)
　△ABCにおいて， $c=2,\hspace{3}A=15^{\circ},\hspace{3}B=120^{\circ}$ のとき，辺aの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
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三角形の内角の総和は180°だから
C=180°−(A+B)=45°
B=120°,C=45°を使って正弦定理により解くと
$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
$b=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{6}$
２辺が分かったので余弦定理と使うと
$b^2=c^2+ a^2-2ca\cos B$
$6=4+ a^2-2\times 2a\times (-\frac{1}{2})$
$a^2+ 2a-2=0$
$a=-1\pm \sqrt{3}$
$a\gt 0$ により $a=-1+ \sqrt{3}$
※角度が2個与えられている問題では，角度が3個決まるので，形は1つ→（辺が少なくとも1つ与えられているから）答えは１つ
→解答を隠す←

(9)
　△ABCにおいて， $a=3\sqrt{2},\hspace{3}c=2\sqrt{3},\hspace{3}A=60^{\circ}$ のとき，辺bの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{6}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
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余弦定理
a2=b2+c2−2bc cos Aに代入
$18=b^2+ 12-2b\times 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2}$
$b^2-2\sqrt{3}b-6=0$
解の公式を使って解くと
$b=\sqrt{3}\pm 3$
b>0だから
$b=\sqrt{3}+ 3$
（参考）
角Cを求めてから，次に③によりBを求め，さらに②により辺bを求める作戦はBが75°になるので筆算では行き詰ります．
角Cを求めると辺角2組がそろうので，次に第1余弦定理により辺bを求めることはできます．
≪この場合の答案の流れ≫
正弦定理によりC=45°
第1余弦定理により $b=a\cos C+ c\cos A=\sqrt{3}+ 3$ →解答を隠す←

(10)
　△ABCにおいて， $b=2\sqrt{2},\hspace{3}c=2\sqrt{3},\hspace{3}C=60^{\circ}$ のとき，辺aの長さを求めよ．

$2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $3+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{6}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ $\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$ $\sqrt{6},\hspace{2}3\sqrt{2}$
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余弦定理
c2=a2+b2−2ab cos Cに代入
$12=a^2+ 8-2a\times 2\sqrt{2} \times \frac{1}{2}$
$a^2-2\sqrt{2}a-4=0$
解の公式を使って解くと
$a=\sqrt{2}\pm \sqrt{6}$
a>0だから
$a=\sqrt{2}+ \sqrt{6}$
（参考）
角Bを求めてから，次に③により角Aを求め，さらに②により辺aを求める作戦はAが75°になるので筆算では行き詰ります．
角Bを求めると辺角2組がそろうので，次に第1余弦定理により辺aを求めることはできます．
≪この場合の答案の流れ≫
正弦定理によりB=45°(B=135°はC=60°と矛盾)
第1余弦定理により $a=b\cos C+ c\cos B=\sqrt{2}+ \sqrt{6}$ →解答を隠す←

== 筆算だけで解く問題(1) ==

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