高校数学・正弦定理と余弦定理

余弦定理の２次方程式

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 正弦定理（解説）　• 正弦定理（問題）　• 分数型の方程式　• 余弦定理　• 三辺から角を求める問題　• 余弦定理を２次方程式として解く　• 三角形を解く　　　• 筆算だけで解く問題(1) 　• 筆算だけで解く問題(2) 　• 最大角・最小角　• 三角形の形状問題　• 三角形の証明問題　• ヘロンの公式　• 内接円の半径　• 正弦定理,余弦定理（共通,センター問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，余弦定理を２次方程式として解くのマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 余弦定理の２次方程式 ==

《解説》
•　２辺a, bの長さと角Aの大きさが与えられているとき，△ABCの他の要素を求める問題は，

により，正弦定理を用いて角Bを求めるのが第一手と考えるのが基本です.
• 　しかし，ここでは，２辺a, bの長さと角Aの大きさから辺cの長さを求める他の方法を紹介します. a, b,Aが与えられているとき，

余弦定理　a2=b2+c2−2bc cos A　

を辺cについての２次方程式と見てcを求めることができます.（角Cの大きさが与えられておらず，かわりに角Aの大きさが与えられているのに，辺cの長さが求まるところがポイント）

≪例≫
$a=2,\hspace{3}b=\sqrt{6},\hspace{3}A=45^{\circ}$ のとき辺cの長さを求めなさい.

(答案)
角Aを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，

a2=b2+c2−2bc cos A
$4=6+ c^2-2\times\sqrt{6}\times c\times\frac{1}{\sqrt{2}}$
$c^2-2\sqrt{3}c+ 2=0$

解の公式から
$c=\sqrt{3}\pm 1$ ･･･(答)
※２次方程式の解は，通常２個あります.２つとも三角形の辺の長さを表しているか，1つだけが答となるかは，三角形ができるかどうかで判断します.
もし，２次方程式の解が $c=1\pm\sqrt{3}$ となれば， $c=1+\sqrt{3}$ だけが答です.･･･ $c=1-\sqrt{3}$ (＜0）では三角形はできないからです.

《問題》
△ABCにおいて次の問に答えなさい.（右欄の選択肢の中から正しいと思うものをクリックしてください．クリックすれば，採点結果と解説が出ます．何もしなければ解説は出ません）

(1) a=7, b=5,A=60°のとき辺cの長さを求めなさい. 解答を見る $a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入すると $49=25+ c^2-10c\times\frac{1}{2}$ $c^2-5c-24=0$ (c+3)(c−8)=0 c=8 (>0)･･･（答） →解答を隠す←	2，3，4，5 6，7，8，上記以外
(2) a=7, b=5,A=120°のとき辺cの長さを求めなさい. 解答を見る $a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入すると $49=25+ c^2+ 10c\times\frac{1}{2}$ $c^2+ 5c-24=0$ (c+8)(c−3)=0 c=3 (>0)･･･（答） →解答を隠す←	2，3，4，5 6，7，8，上記以外
(3) $c=\sqrt{31},\hspace{3}a=5,\hspace{3}C=60^{\circ}$ のとき辺bの長さを求めなさい. 解答を見る $c^2=a^2+ b^2-2ab\cos C$ に代入すると $31=25+ b^2-10b\times\frac{1}{2}$ $b^2-5b-6=0$ (b+1)(b−6)=0 b=6 (>0)･･･（答） →解答を隠す←	2，3，4，5 6，7，8，上記以外
(4) $a=\sqrt{2},\hspace{3}c=\sqrt{6},\hspace{3}A=30^{\circ}$ のとき辺bの長さを求めなさい. 解答を見る $a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入すると $2=b^2+ 6-2b\times\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$ $b^2-3\sqrt{2}b+ 4=0$ $(b-\sqrt{2})(b-2\sqrt{2})=0$ $b=\sqrt{2},\hspace{3}2\sqrt{2}$ ･･･（答） →解答を隠す←	$\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ , $\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ または $3\sqrt{3}$ , $\sqrt{2}\pm 1$ , $\sqrt{3}\pm 1$ , 上記以外
(5) $b=\sqrt{7},\hspace{3}c=4,\hspace{3}B=30^{\circ}$ のとき辺aの長さを求めなさい. 解答を見る $b^2=c^2+ a^2-2ca\cos B$ に代入すると $7=16+ a^2-8a\times\frac{\sqrt{3}}{2}$ $a^2-4\sqrt{3}a+ 9=0$ $(a-\sqrt{3})(a-3\sqrt{3})=0$ $a=\sqrt{3},\hspace{3}3\sqrt{3}$ ･･･（答） →解答を隠す←	$\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ , $\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ または $3\sqrt{3}$ , $\sqrt{2}\pm 1$ , $\sqrt{3}\pm 1$ , 上記以外

== 余弦定理の２次方程式 ==

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